מילון מושגים
קורס מתמטיקה ז – אלגברה מתקדמת
הערה: המושגים והתכונות מסודרים על פי סדר הופעתם בסרטוני הלימוד.
תוכן עניינים
חלק א'
א
חלק א: אי-שוויונות
סוגי אי-שוויונות
- אי-שוויון כללי – שני ביטויים אלגבריים השונים אחד מהשני
- אי-שוויון חזק – אחד מאגפי המשוואה גדול או קטן מהאגף השני
- אי-שוויון חלש – אחד מאגפי המשוואה גדול או שווה לאגף השני, או, אחד מאגפי המשוואה קטן או שווה לאגף השני
סימני השוויון
- ‘=’ – שווה
- ‘≠’ – שונה
- ‘<‘ – גדול מ
- ‘>’ – קטן מ
- ‘≤’ – גדול או שווה ל
- ‘≥’ – קטן או שווה ל
שני הבדלים בין משוואות לאי-שוויונות
- הבדל ראשון – כפל או חילוק האי-שוויון במספר שלילי, הופך את סימן האי-שוויון
- הבדל שני –
- במשוואה מקבלים פתרון יחיד
- באי-שוויון, לרוב, מקבלים טווח של מספרים
סימון אי-שוויונות על ציר המספרים
- נקודה מלאה עם חץ לכיוון שמאל – גדול או שווה ל ‘≤’
- נקודה מלאה עם חץ לכיוון ימין – קטן או שווה ל ‘≥’
- נקודה ריקה עם חץ לכיוון שמאל – גדול מ ‘<‘
- נקודה ריקה עם חץ לכיוון ימין – קטן מ ‘>’
פתרונות מיוחדים באי-שוויונות
- אינסוף פתרונות –
- כל X מקיים את אי-השוויון
- סימון על ציר המספרים: שני חצים שנמתחים לשתי הקצוות
- אין פתרון –
- אף X מקיים את אי-השוויון
- סימון על ציר המספרים: נקודה ריקה מעל האפס
מערכות באי-שוויונות
- מערכת ‘או’ –
- מערכת הדורשת למצוא את התחום בו לכל הפחות אחד מאי-השוויונות מתקיים
- שלושת מצבי מערכות ‘או’:
- כיוונים מנוגדים – למשל: 0 > X או 3 < X
- כיוונים זהים – למשל: 1 < X או 5 < X
- כל X – אינסוף פתרונות – למשל: 2- < X או 4 > X
- כיוונים מנוגדים – למשל: 0 > X או 3 < X
- מערכת ‘וגם’ –
- מערכת הדורשת למצוא את התחום המשותף בו שני אי-השוויונות מתקיימים ביחד
- שלושת מצבי מערכות ‘וגם’:
• כיוונים זהים – למשל: 0 < X או 2 < X
• תחום משותף – למשל: 7 ≥ X >
• אף X – אין פתרון – למשל: 0 ≥ X וגם 4 < X
אי-שוויונות ממעלה שנייה
אי-שוויון ממעלה שנייה מורכב ממערכת מסוג ‘או’, שמורכבת משתי מערכות מסוג ‘וגם’.
דרך הפתרון של אי-שוויונות ממעלה שנייה
- להביא את אי-השוויון למצב הבא:
- לפרק את אי-השוויון לגורמים:
- לפרק את אי-השוויון לגורמים:
להבחין בין שני המקרים:
1. מקרה א: סימן אי-השוויון ‘<‘ או ‘≤’ :
פתרון אי-השוויון חייב להיות גדול מאפס, כלומר, מכפלה חיובית.
1. מקרה ב: סימן אי-השוויון ‘>’ או ‘≥’:
פתרון אי-השוויון חייב להיות קטן מאפס, כלומר, מכפלה שלילית.
חלק ב'
א
חלק ב: סדרות
הגדרות ומושגים יסודיים
- סדרה –
- רצף, סופי או אינסופי, של מספרים עם הגיון וחוקים ביניהם
- קבוצת מספרים, שנבנית על פי חוקיות מסוימת
- איבר – כל מספר המרכיב את הסדרה
- אינדקס – המיקום של האיבר בסדרה
- סכום – סכום של טווח מסוים של איברים בתוך הסדרה
סימונים מתמטיים
- איבר =
- אינדקס =
- סכום =
דרך הכתיבה של סדרה
- כתיבת האיברים מימין לשמאל
- הפרדת האיברים באמצעות פסיק
- במידה ויש המשך לסדרה, נסמן שלוש נקודות
סדרה חשבונית
- סדרת מספרים – שבה כל איבר, החל מהאיבר השני, מתקבל על ידי הוספת הפרש הסדרה לאיבר הקודם לו
- הפרש הסדרה –
- מספר קבוע השווה להפרש בין איבר מסוים לאיבר הקודם לו בסדרה
- מסומן על ידי
- שני סוגים של סדרות חשבוניות:
• סדרה עולה – אם הפרש הסדרה חיובי,
• סדרה יורדת – אם הפרש הסדרה שלילי,
- הנוסחה למציאת האיבר הכללי:
- הנוסחאות למציאת סכום הסדרה:
•
•
סדרה הנדסית
- סדרת מספרים, שבה כל איבר, החל מהאיבר השני, מתקבל על ידי הכפלת מנת הסדרה באיבר הקודם לו
- מנת הסדרה –
- מספר קבוע השווה למנה בין איבר מסוים לאיבר הקודם לו
- מסומן על ידי
- שלושה סוגים של סדרות הנדסיות:
- סדרה עולה –
• אם מנת הסדרה גדולה מאחד, והאיבר הראשון גדול מאפס, 0
• אם מנת הסדרה גדולה מאפס וקטנה מאחד, והאיבר הראשון קטן מאפס,
- סדרה יורדת–
• אם מנת הסדרה גדולה מאחד, והאיבר הראשון קטן מאפס,
• אם מנת הסדרה גדולה מאפס וקטנה מאחד, והאיבר הראשון גדול מאפס,
- סדרה שאינה עולה ואינה יורדת – אם מנת הסדרה קטנה מאפס,
- סדרה עולה –
- הנוסחה למציאת האיבר הכללי:
- הנוסחאות למציאת סכום הסדרה:
•
• במידה וזו סדרה אינסופית מתכנסת – אם מנת הסדרה קטנה מאחד וגדולה ממינוס אחד, וגם שונה מאפס,
•
חלק ג'
א
חלק ג: הסתברות
הגדרות ומושגים יסודיים
- ביטוי מספרי, בין אפס לאחד, שמציג את מידת הסבירות שמאורע מסוים יתרחש
- מסומנת על ידי
- מושגים בסיסיים בהסתברות:
- ניסוי מקרי = כל פעולה שמתבצעת, המאופיינת בתוצאות בלתי וודאיות ויכולה להניב אחת ממספר תוצאות אפשריות מספר קבוע השווה למנה בין איבר מסוים לאיבר הקודם לו
☜ למשל, הטלת קובייה - מרחב המדגם = מתאר את כל התוצאות האפשריות בניסוי
☜ למשל, המספרים 1 עד 6 = 1,2,3,4,5,6
- מאורע = מאורע הוא מצב שניתן לייחס לו הסתברות. תוצאה אפשרית לניסוי
☜ למשל, קבלת המספר 5 לאחר הטלת קובייה
- מאורע משלים = המאורע המשלים לתוצאה האפשרית. ההסתברות לקבלת שאר האפשרויות, השונות מהתוצאה שהתקבלה.
☜ למשל, קבלת המספרים 1, 2, 3, 4, 6 לאחר הטלת קובייה
- ניסוי מקרי = כל פעולה שמתבצעת, המאופיינת בתוצאות בלתי וודאיות ויכולה להניב אחת ממספר תוצאות אפשריות מספר קבוע השווה למנה בין איבר מסוים לאיבר הקודם לו
- הנוסחה לחישוב הסתברות:
ההסתברות שמאורע יתרחש- מאורע
תוצאות אפשריות - מרחב המדגם
אפשרויות בסך הכול - הסתברות
מאורעות ‘או’
- מאורעות שלא יכולים להתרחש במקביל
- כל מאורע מתרחש בפני עצמו, כלומר, מאורע א’ או מאורע ב’
- נקרא גם איחוד מאורעות, כלומר, חיבור הסתברויות
- הנוסחה לאיחוד מאורעות:
- הסימן
מייצג איחוד מאורעות
- מאורעות ‘או’ נעים באופן רוחבי על דיאגרמת העץ, כלומר, נשארים באותו שלב בניסוי:
מאורעות ‘וגם’
- בלתי תלויים, כלומר כל מאורע לא משפיע על ההסתברות של השני
- המאורעות מתרחשים במקביל או אחד אחרי השני, כלומר, מאורע א’ וגם מאורע ב’
- נקרא גם חיתוך מאורעות, כלומר, כפל הסתברויות
- הנוסחה לחיתוך מאורעות:
- הסימן
מייצג חיתוך מאורעות
- מאורעות ‘וגם’ נעים באופן אורכי על דיאגרמת העץ כלומר, עוברים בין שלבים בניסוי:
- 2 מצבי הסתברות ‘וגם’
- החזרה – ביצוע פעולה שאחריה מרחב המדגם חוזר לקדמותו
- הוצאה – ביצוע פעולה שאחריה מרחב המדגם משתנה
ממוצע
- מספר שמהווה את המרכז של קבוצת מספרים, מבחינת ערכו.
- על מנת לחשב ממוצע יש לחלק את סכום האיברים בכמות האיברים:
- סימון הממוצע על ידי X עם “גג”:
- הנוסחה לחישוב ממוצע:
- גודל איבר מסוים =
- כמות האיברים בקבוצה =
- הממוצע עונה על השאלה: מה היה המספר אם כל האיברים בקבוצה היו שווים זה לזה?
- ממוצע משוקלל:
- ממוצע בין כמה קבוצות מספרים
- חשוב להתחשב בגודל כל אחת מהקבוצות
- הנוסחה לחישוב ממוצע משוקלל:
- גודל כל קבוצה =
